Qué se siente ser molécula

Sistemas complejos, partículas, metaestabilidad, coronavirus y el momento de nuestro mundo.

Corrían los primeros días de agosto de 2010. Con un grupito de colegas matemáticos y matemáticas nos sentamos a tomar una merecida cerveza en un buteco de Buzios al final de una larga jornada en la Escuela Brasileña de Probabilidades.

Nuestros cerebros estaban literalmente agotados y yo no podía esperar a ese momento sublime en que la cerveza helada -típica de Brasil- hiciera contacto con mi boca.

Pero resulta que la cerveza estaba completamente congelada dentro de la botella y al intentar volcarla en el vaso no caía ni una gota. Mis colegas rápidamente se pusieron a discutir con el mozo pero este argumentaba que la cerveza estaba ok cuando él la trajo.

Una de las matemáticas presentes, brasileña ella, mantenía silencio con una sonrisa delatora. Sabía que lo que estaba pasando era algo así como lo que se ve en este video.

Y lo sabía porque ella fue una de las primeras en dar demostraciones rigurosas desde el punto de vista matemático del fenómeno que estaba ocurriendo, allá por los años ochenta.

La cuestión pasa por demostrar, a través del análisis de las probabilidades de ocurrencia de los distintos escenarios posibles, el comportamiento del conjunto de moléculas que forman la cerveza a partir de las interacciones individuales entre ellas.

Cuando tiramos una moneda muchísimas veces, no sabemos qué pasará con cada uno de los lanzamientoss, pero podemos asegurar que aproximadamente la mitad de las veces saldrá cara y la otra mitad saldrá ceca. Algo parecido pasa con las moléculas de la cerveza y lo que les vengo a contar es que algo parecido a lo que nos está pasando a nosotros, humanos del planeta Tierra, por estos tiempos. La Escuela Brasileña de Probabilidades y la comunidad de matemáticos y matemáticas dedicados a la investigación matemática en Teoría de Probabilidad en Brasil son mundialmente reconocidos por el nivel y la calidad de sus contribuciones a la disciplina. También por los maravillosos eventos que organizan anualmente en alguna playita de la costa brasileña donde los más renombrados exponentes de la probabilidad mundial discuten de matemática con colegas y estudiantes caipirinha en mano y con el mar en sus pies.

Y como brasileños que son, saben muy bien qué se siente. En este caso, qué se siente ser molécula.

Los Sistemas de Partículas Interactuantes (SPI) son modelos que usamos los matemáticos para describir fenómenos complejos que involucran un gran número de componentes interconectados. Grande, pero grande en serio. Ya van a ver. Los primeros ejemplos surgieron de un área que hoy llamamos mecánica estadística, donde los componentes son las moléculas y las “interconexiones” se dan por los choques entre ellas. En este caso el “grande” vendría a ser del orden de 10 elevado a la 23. Un uno seguido de veintitrés ceros. La cantidad de moléculas por unidad de materia. Traten de imaginarse la complejidad de ese sistema de 100.000.000.000.000.000.000.000 moléculas en un gas o un líquido interactuando. Para darse una idea, la edad del universo estimada, medida en segundos, es un millón de veces más chica: tomemos el momento desde que ocurrió el Big Bang, contemos los segundos que pasaron hasta hoy, repitamos eso un millón de veces. Ahí tenemos más o menos 10 a la 23 segundos. El mote de “sistema complejo” para una cosa así no le queda nada mal. Y estamos hablando de un pedacito de materia. Unos tres gramos de agua, por ejemplo.

En el mundo somos casi ocho mil millones de personas. Si tenemos en cuenta también a otras especies en la cuenta se nos agregan un par de ceros a ese número. Estamos lejos de las 10 a las 23 moléculas pero es un número bastante grande también y se presta para ser puesto en el marco de los SPI, aunque sea a modo conceptual.

Lo increíble de estos sistemas es que, en ciertas condiciones, es posible responder a muchas preguntas sobre su comportamiento. No todas las que uno querría, pero sí muchas. Esencialmente las que tienen que ver con lo que se llama características macroscópicas. Eso es, no nos preguntamos por la posición o velocidad de cada una de las moléculas (partículas), sino por cosas que tienen que ver con todas las moléculas juntas: la temperatura del agua o la presión de un gas en un recipiente. Y ahí sí podemos responder. A veces.

Lo mismo pasa con nuestro mundo y muchos fenómenos, como puede ser un virus en particular que se aloja por primera vez en un humano. O mejor dicho, la primera vez que nosotros nos enteramos de que eso ocurre. Esa persona (molécula) interactúa con otras y el resultado de esa interacción entre dos personas en lugar de ser un choque que les otorga velocidades aleatorias es un posible (o no) contagio. Al igual que antes con las moléculas o las monedas, no podemos predecir si tal o cual persona se contagiará (micro) pero sí podemos describir fenómenos macroscópicos. No solo describir, podemos dar pruebas rigurosas de eso, de la misma forma en que demostramos el Teorema de Pitágoras.

Ludwig Boltzmann nació en 1844 en lo que en ese momento era el Imperio austríaco. En 1866 obtuvo su doctorado de la Universidad de Viena con su famosa tesis sobre la Teoría cinética de los gases que, entre otras cosas, proclama la existencia de los átomos y las moléculas y explica las características macroscópicas de los gases (temperatura, presión) a partir de sus interacciones moleculares (microscópicas). De ahí el nombre de “teoría cinética de los gases”. Intentar explicar el comportamiento de un gas a partir de explicar cómo se mueven las moléculas que lo componen. La posición de Boltzmann era muy cuestionada por sus colegas y hay quienes creen que eso influyó para que tomara la decisión de suicidarse en 1906, durante unas vacaciones con su esposa e hija en Duino, cerca de Trieste. En su tumba puede leerse su famosa fórmula para la entropía.

S= k ·log W

Un tiempo después de la pelea inicial de Boltzmann y sus seguidores para que las ideas de la mecánica estadística sean aceptadas, esas mismas ideas fueron ganando más y más terreno y fueron permeando en otro tipo de contextos: sistemas biológicos, flujo de tránsito en autopistas, tráfico en redes de comunicación (internet, redes celulares), dinámica de peatones, opiniones y poblaciones, sistemas de reacción difusión, mercados financieros, economía, crecimiento de epidemias, y la lista sigue.

Matemáticamente los componentes son modelados como partículas (sin importar si son moléculas, personas, autos, llamadas telefónicas u otro tipo de agentes) y las interacciones entre ellas están dadas por reglas locales: las partículas interactúan solamente con otras partículas que están “cerca” y no lo hacen en forma directa con las que están lejos.

Muchas veces, las influencias microscópicas (al nivel de las interacciones entre partículas) no están accesibles. Y aunque lo estuvieran, son tantas que intentar entenderlas a todas juntas podría no ser buena idea. El enfoque de los sistemas de partículas es modelar a esas interacciones como aleatorias e intentar reproducir la complejidad del sistema como el resultado de pequeñas interacciones locales aleatorias que, encadenadas, dan lugar a comportamientos sumamente sofisticados. Este enfoque ha tenido un éxito rotundo tanto en fenómenos físicos como en muchas otras de las disciplinas mencionadas anteriormente. También sirve, de manera esquemática, para entender el mundo en que vivimos y el momento que estamos atravesando. No solo a nivel físico, sino también al nivel mucho más complejo de las interacciones socio-político-económicas individuales y colectivas.

El enorme matemático John H. Conway — creador del Juego de la vida, que nos dejó recientemente en medio de la pandemia y que no quería ser recordado como yo acabo de hacerlo, por el juego de la vida- solía decir “La matemática no es difícil. Los gatos son difíciles. La matemática es la parte fácil. La que podemos tratar de entender”.

Acá pasa algo de eso. El fenómeno de la cerveza helada y el que está ocurriendo en nuestro planeta con la pandemia pueden ser puestos en correspondencia. Ambos son susceptibles de ser rotulados con el término metaestabilidad. Pero entender a la cerveza es la parte fácil.

Nuestra sociedad puede ser pensada como un gran sistema de partículas interactuantes. Uno muy complejo. Sus distintos pedazos más pequeños (continentes, países, ciudades, barrios, organizaciones económicas, sociales y/o políticas) también. Las esperanzas de poder responder a preguntas concretas son pocas, pero el marco sirve para ayudar a pensar. Acá es donde entra la frase de Arnold del encabezado.

Equilibrios, fluctuaciones y metaestabilidad.

Estos tres conceptos son cruciales en el estudio de los SPI porque tienen que ver con las cosas que sí podemos responder. Veámoslo con un ejemplo.

El modelo es más abstracto que concreto, con la idea de que después cada uno lo extrapole a la situación que crea adecuado. De eso trata en buena parte el quehacer de los matemáticos. Nuestro modelo es un gran tablero de ajedrez. En lugar de 8x8, imaginemos 100x100 o 10¹⁰x10¹⁰. Muy grande. Y además vamos a permitir que las casillas cambien de color. En lugar de ser cada casilla o bien blanca o bien negra, a medida que va pasando el tiempo puede ir cambiando de color. No solo una vez sino todas las que quiera.

Las reglas para cambiar de color son así:

Cada casilla puede cambiar de color después de un tiempo aleatorio. Ojo que aleatorio no significa impredecible. Aleatorio es que no podemos determinarlo por completo, pero tal vez algo sí podemos decir. En este caso lo que sí podemos decir es la magnitud. Si va a ser grande o va a ser chico. Y la regla es así: el tiempo que va a tardar una casilla blanca en cambiarse a negra va a ser muy chico si está rodeada de casillas negras y muy grande si está rodeada de casillas blancas. Si hay algunas blancas y algunas negras, tardará un tiempo intermedio relacionado con la cantidad de casillas blancas y negras que tenga alrededor.

Fíjense que las reglas hacen que cada casilla “tenga ganas” de parecerse a sus vecinas. Si tiene muchas vecinas con su mismo color, va a esperar mucho tiempo antes de decidirse a cambiar. Por el contrario, si tiene muchas vecinas de un color distinto, rápidamente intentará ser como ellas.

Para quienes quieran guglear, se llama Modelo de Ising Estocástico. También puede ser útil buscar “Dinámica de Glauber” o “Modelo de Ising Cinético”. Es una pieza fundacional en el desarrollo de los SPI y sigue siendo objeto de estudio porque seguimos sin saber responder muchas preguntas.

También podemos permitir más colores. En lugar de blanco y negro, en la simulación de abajo hay cuatro colores. Las reglas son las mismas. A cada casilla lo único que le importa es cuántas casillas a su alrededor tienen su mismo color y cuántas un color distinto. Este se llama modelo de Potts.

Simulación del Modelo de Potts por Leo Rolla.

La simulación fue hecha por Leo Rolla y sus estudiantes. Ustedes pueden hacer la suya eligiendo sus propios parámetros si visitan su página web en

http://mate.dm.uba.ar/~leorolla/simulations

¿Qué podemos observar? ¿Podemos decir algo sobre lo que veremos si hacemos una nueva simulación o es completamente impredecible?¿Podemos describir las características de este sistema? La respuesta es que sí. Con demostraciones matemáticas rigurosas y todo. Como con las monedas. Acá van en modo de cuento:

Nuestro sistema comienza en algún estado y empieza a moverse según las reglas. Al principio parece difícil predecir qué es lo que va a pasar. Pero como cada casilla tiene ganas de parecerse a sus vecinos, se empiezan a formar grupos de casillas con el mismo color. Eso pasa tan rápido que ni llegamos a verlo. Luego, de a ratos parece que no va a pasar nada nuevo. Eso es lo que llamamos un (meta) equilibrio. Los equilibrios no implican una cuestión estática. Las cosas se siguen moviendo, pero de una forma en que la descripción macroscópica no cambia. Parecido a lo que pasa en un gas (aparentemente) quieto en un recipiente cerrado. Parece que no pasa nada, pero las moléculas están dele que dele chocando unas contra otras. Parecido a nuestro mundo por momentos. Dependiendo de la escala en que observamos, podemos ver que está pasando todo tipo de cosas (micro), o que está todo muy tranquilo y aparenta estar todo siempre igual (macro). O cambia de a poquito y de manera predecible.

Pensemos por un ratito en el mundo pre pandemia. Cada persona, cada familia, cada comunidad. En muchas de ellas pasaban muchas cosas. Casamientos, separaciones, nacimientos, enfermedades, muertes. Incluso muertes causadas por virus. Pero todas esas cosas pasaban de una forma en que tenían mucha incidencia a nivel microscópico (qué más impactante que la muerte de una madre, un hijo o un amor). Sin embargo, a nivel macroscópico la cosa estaba bastante quietita. En un (meta) equilibrio.

Hasta que, de repente, pasa algo. Un “grupo” desaparece. Y volemos a un aparente nuevo equilibrio. Y nuevamente otro grupo desaparece, y otro, y otro. Hasta que llegamos a un equilibrio en donde casi todas las casillas son del mismo color. Pero constantemente se forman nuevas pequeñas islitas de otro color. Crecen un poquito y desaparecen. Y en ese estado seguirá la simulación por mucho tiempo si la dejamos. Un estado de (aparente) equilibrio. Al fenómeno ese de las islas que aparecen y desaparecen, se lo llama fluctuaciones. Hay un estado que caracteriza al equilibrio (todas las casillas del mismo color) pero eso así puro no lo vemos nunca, vemos estas pequeñas fluctuaciones (las islitas que aparecen y desaparecen) alrededor de ese estado, en donde nos parecemos bastante pero no somos exactamente eso.

Y ahora les cuento las cosas que no se ven en la simulación pero que se verían si dejamos pasar un buen rato. Si esperamos suficiente tiempo, damos lugar para que ocurran fluctuaciones más grandes. Que aparezcan islas de mayor tamaño (y vuelvan a desaparecer). Cuanto más tiempo dejamos pasar, más chances damos para que esas islas de tamaño más grande aparezcan. Con suficiente tiempo, en algún momento aparecerá una isla tan grande que ocupará todo el tablero -suena sensato dejar de llamarla isla- y por lo tanto estaremos en un nuevo (meta) equilibrio. Lo que era isla pasa a ser mar y lo que era mar se transforma en isla. A ese fenómeno, se lo suele llamar metaestabilidad. Después de mucho tiempo en un aparente equilibrio y sin razones aparentes, nos vamos de ese equilibrio rápidamente y, luego de un tiempo breve de incertidumbre, estacionamos en uno nuevo. Hay una serie de cuestiones que caracterizan al fenómeno de la metaestabilidad.

1. Un aparente estado de equilibrio (metaestable)
2. La salida del estado de equilibrio después de un largo tiempo.
3. El momento de la salida del estado metaestable es impredecible. No “se la ve venir”. Espontáneamente se produce un fluctuación tan grande que nos saca del metaequilibrio en el que estábamos y
4. Nos lleva a un nuevo estado distinto de aparente nuevo equilibrio.

Parecido a lo que pasa con la cerveza, parecido a lo que pasa con el Modelo de Ising Estocástico, parecido a los que nos está pasando desde que el coronavirus dejó de ser una cuestión microscópica. Eso que podría haber sido una isla que aparecía para luego desaparecer sin pena ni gloria, dejó de ser isla y se transformó en mar.

Las relaciones sociales, políticas y económicas, para bien o para mal, se mantenían relativamente estables. Hasta que un día, sin que nada indique que eso iba a pasar (más allá de la certeza de que iba a pasar en algún momento) un nuevo virus se propagó un poco más y más y más y desencadenó una serie de sucesos poco probables para otro contexto. Y ahora ese mundo se fue de ese supuesto equilibrio en el que estaba y está viendo si va a volver a caer en el mismo que estaba antes (una fluctuación mediana digamos), en uno parecido o en uno bien distinto. Y en ese nuevo equilibrio, que vaya uno a saber cómo será, estaremos expuestos a que el mismo fenómeno pueda vuelva a ocurrir. Perdón. En ese nuevo equilibrio, estaremos expuestos a que tarde o temprano, el mismo fenómeno va a volver a ocurrir.